Logaritma

Oke, di sini saya sangat suka dengan pelajaran matematika...
saya akan coba menjelaskan beberapa pelajaran matematika di sekolah...
mungkin... HIMPUNAN, PERSAMAAN KUADRAT, dan LOGARITMA
mw tau??? kLIk "mw Liat semuanya"....^^ di bagian bawah postingan yah....

HIMPUNAN

Pengertian

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.

Contoh:

Himpunan siswi kelas III SMU Tarakanita tahun 1999-2000 yang nilai IQ-nya diatas 120.
Himpunan bilangan-bilangan bulaT diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7
Himpunan hanya membicarakan objek-objek yang berlainan saja.


Metode Roster
yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam
tanda kurung {...........}
contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......}

Metode Rule
yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannya
contoh: N = {x½x adalah bilangan asli}

Istilah-istilah
Elemen (Anggota) notasi : Î
setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebut
elemen/anggota himpunan itu.
contoh:
A ={a,b,c,d}
a Î A (a adalah anggota himpunan A)
e Ï A (e bukan anggota himpunan A)


Himpunan kosong 9999999999999notasi : f atau {}
yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota
contoh :
A = { x | x² = -2; x riil}
A = f


Himpunan semestafgf fgfgfgfggffgfnotasi : S
yaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan
contoh :
K = {1,2,3}
S = { x | x bilangan asli } atau
S = { x | x bilangan cacah } atau
S = { x | x bilangan positif } dsb.

Hubungan antar Himpunan,

1.Himpunan bagian notasi : Ì atau É

Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.

Ditulis : A Ì Bf atau B É A

contoh:
A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}
maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C

ketentuan :

himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang
himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari
himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n

HB = 2n

contoh:
jika A = {a,b,c}
maka himpunan bagian dari A adalah :
{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f

seluruhnya ada 2³ = 8

POWER SET 2s
himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S

contoh:
S = {a,b,c}
2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }


Himpunan sama ttttttttttt notasi : =

Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.

Ditulis A = B

contoh:
K = {x | x²-3x+2=0}
L = {2,1}
maka K = L


Himpunan lepas ttttttttttt notasi : //

Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.

Ditulis A // B

contoh:
A = {a,b,c}
B = {k,l,m}
Maka A // B

Skema Bilangan
1.Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

N = {1,2,3,4,5,6,......}

Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

P = {2,3,5,7,11,13,....}

Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Himpunan bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain

Himpunan bilangan irasional
Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: log 2, e, Ö7

Himpunan bilangan riil
Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3

Himpunan bilangan imajiner
Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

contoh: i, 4i, 5i

Himpunan bilangan kompleks
Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.

contoh: 2-3i, 8+2

PERSAMAAN KUADRAT
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Bentuk umum : ax² + bx + c = 0

x variabel; a,b,c konstanta ; a ¹ 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.

Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara


Memfaktorkan

ax² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + p/a) = 0
® x1 = - p/a dan x2 = - q/a

dengan p.q = a.c dan p + q = b

Melengkapkan bentuk kuadrat
persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
(x + p)² = q² ® x + p = ± q
x1 = q - p dan x2 = - q - p

Rumus ABC
ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± Ö(b²-4ac)]/2a

bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
sehingga X1,2 = (-b ± ÖD)/2a

Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan
1.D > 0

x1 = (-b+ÖD)/2a ; x2 = (-b-ÖD)/2a

PK mempunyai dua akar nyata berbeda


D = 0

x1 = x2 = -b/2a

PK mempunyai dua akar nyata yang sama

tt
D < 0

Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.

Sifat-Sifat Persamaan Kuadrat

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.

Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:

X1 = (-b+ÖD)/2a dan X2 = (-b-ÖD)/2a

didapat hubungan

X1 + X2 = -b/a
X1.X2 = c/a
X1 - X2 = ÖD/a

Perluasan Untuk Akar-akar Nyata
Kedua akar nyata berlawanan

1.Maksudnya : X1 = -X2

syarat : D > 0
X1 + X2 = 0 ® b = 0

Ket: X1 + X2 = 0 ® -b/a = 0 ® b = 0


Kedua akar nyata berkebalikan

Maksudnya : X1 = 1/X2

syarat : D ³ 0
X1 . X2 = 1 ® a = c

Ket: X1 . X2 = 1 ® c/a = 1 ® a = c


Kedua akar nyata positif

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0

syarat : D ³ 0
X1 + X2 > 0
X1 . X2 > 0


Kedua akar nyata negatif

maksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0

syarat: D ³ 0
X1 + X2 < 0
X1 . X2 > 0


Kedua akar nyata berlainan tanda

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0

syarat : D > 0
X1 . X2 < 0

Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti


Kedua akar rasional

Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk Ö

syarat : D = bentuk kuadrat
D = (0,1,4,9,16,25...)

Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda Ö , sehingga X1 dan X2 rasional

Bentuk-bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat

1. X1² + X2²
= (X1 + X2)² - 2X1.X2
= (-b/a)² + 2(c/a)



2. X1³ + X2³
= (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2)
= (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)



3. X14 + X24
= (X1²+X2²)² -(X1²X2²)
= [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)²
= [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²



4. X1²X2 + X1X2²
= X1X2(X1+X2)
= c/a (-b/c)



5. 1/X1 + 1/X2
= (X1+X2)/X1+X2
= (-b/a)/(c/a)
= -b/c



6. X1/X2 + X2/X1
= (X1²+X2²)/X1X2
= ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2



7. (X1-X2)²
= (X1+X2)² - 4X1X2 atau [ÖD/a]² = D/a²



8. X1² - X1² = (X1+X2)(X1-X2)
= (-b/a)(ÖD/a)

Menyusun Persamaan Kuadrat

Batasan Dan Sifat-Sifat Logaritma
Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b.

a log b = c ® ac = b ® mencari pangkat

Ket : a = bilangan pokok (a > 0 dan a ¹ 1)
b = numerus (b > 0)
c = hasil logaritma

Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :

alog a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n



SIFAT-SIFAT

1. alog bc = alogb + alogc
2. alog bc = c alog b
3. alog b/c = alog b -alog c ® Hubungan alog b/c = - a log b/c
4. alog b = (clog b)/(clog a) ® Hubungan alog b = 1 / blog a
5. alog b. blog c = a log c
6. a alog b = b
7. alog b = c ® aplog bp = c ® Hubungan : aqlog bp = alog bp/q
= p/q alog b

Keterangan:


Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.

[ log 7 maksudnya 10log 7 ]

lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n
Bedakan dengan log xn = n log x
Contoh:


Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan !
syarat : numerus > 0
x² -4x - 5 < 0
(x-5)(x+1) < 0


-1 < x < 5



Sederhanakan

2 3log 1/9 + 4log 2 = 2(-2) + 1/2 =
3log 2. 2log 5 .52log 3 3log 2.2log 5. 5²log3

- 3 1/2 = -3 1/2 = -7
3log 31/2 1/2


Jika 9log 8 = n Tentukan nilai dari 4log 3 !

9log 8 = n
3²log 2³ = n
3/2 3log 2 = n
3log 2 = 2n
3

4log 3 = 2²log 3
= 1/2 ²log 3
= 1/2 ( 1/(³log 2) )
= 1/2 (3 / 2n)
= 3/4n


Jika log (a² / b4) Tentukan nilai dari log ³Ö(b²/a) !

log (a²/b4)
log (a/b²)²
2 log ( a/b²)
log ( a/b² )
log ³Ö(b²/a) = -24
= -24
= -24
= -12
= log (b²/a)1/3
= 1/3 log (b² / a)
= -1/3 log (a/b²)
= -1/3 (-12) = 4


Persamaan Logaritma
Masalah : Menghilangkan logaritma

alog f(x) = alog g(x) ® f(x) = g(x)

alog f(x) = b ® f(x) =ab

f(x)log a = b ® (f(x))b = a

Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 ¹ 1 dan numerus > 0 )

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !


xlog 1/100 = -1/8
x-1/8 = 10-2
(x -1/8) -8 = (10-2)-8
x = 10 16

xlog 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6
xlog 34 - 2 xlog33 + xlog² + 1/2 xlog 36 = 6
4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6
3 xlog 3 = 6
xlog 3 = 2
x² = 3 ® x = Ö3 (x>0)

xlog (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0
xlog(x+12) - xlog 4³ = -1
xlog ((x+12)/4³) = -1
(x+12)/4³ = 1/x
x² + 12x - 64 = 0
(x + 16)(x - 4) = 0
x = -16 (TM) ; x = 4

²log²x - 2 ²logx - 3 = 0

misal : ²log x = p

p² - 2p - 3 = 0
(p-3)(p+1) = 0

p1 = 3
²log x = 3
x1 = 2³ = 8

p2 = -1
²log x = -1
x2 = 2-1 = 1/2


Sekian...